合情推理的概念是美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治波利亞多年深入研究數(shù)學(xué)解題過程得出的理論成果。從字面來看，合情推理就是一種合乎情理的推理，只要是出自自己原始的想法，或是借助已有的經(jīng)驗(yàn)得出的結(jié)論，不管是對(duì)是錯(cuò)，就是合情推理。其思維的形式主要有觀察實(shí)驗(yàn)、比較發(fā)現(xiàn)、歸納、類比、猜想驗(yàn)證、估算，甚至是包括瞬間的聯(lián)想、自覺、頓悟、靈感等。合情推理屬于數(shù)學(xué)思維中的形象思維,其實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。正如數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“數(shù)學(xué)本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納和類比?！睔w納和類比是合情推理在教學(xué)中最為主要的形式。合情推理是一種生動(dòng)活潑的推理，它沒有演繹推理嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密，卻有著自己獨(dú)有的一些特征，比如似真性、創(chuàng)新性和經(jīng)驗(yàn)性。從這些特征來看，其更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，更易于在教學(xué)中操作應(yīng)用培養(yǎng)。
從教學(xué)實(shí)踐中也不難發(fā)現(xiàn)，所有新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)基本上是由合情推理所得，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和原理，探索數(shù)學(xué)結(jié)論，尋求問題求解途徑的重要和常用的方法。合情推理作為一般的科學(xué)方法，也是人們?cè)谏钪刑剿鲉栴}、尋求和發(fā)現(xiàn)真理的重要方法。所以說，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用合情推理，能充分地展示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過程，以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在的對(duì)稱和諧關(guān)系，將數(shù)學(xué)生動(dòng)鮮活、自然合理的人文特性展示給學(xué)生，能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，有利于培養(yǎng)學(xué)生的人文精神與科學(xué)素養(yǎng)。
（一）再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的相當(dāng)部分概念都是原始的，無需證明的。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多原始概念，如點(diǎn)、線、面、體、數(shù)、常數(shù)、變數(shù)等等，都是由具體的事物觀察然后再抽象出來的。對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)概念，在教學(xué)中我們應(yīng)再現(xiàn)其產(chǎn)生過程，從學(xué)生所能經(jīng)驗(yàn)的肯定舉例中以歸納的方式概括出一類事物的本質(zhì)屬性。這就要求在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，盡量做到密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察生活、生產(chǎn)、科技中的事例，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上升為理性認(rèn)識(shí)，形成概念。例如，初次學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，教師先給出一些生活中常見的變量以及變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生自己感悟、概括出它們的共性。引導(dǎo)學(xué)生多次分析、比較后，從諸多的屬性中，找出它們的共同本質(zhì)屬性：有兩個(gè)變量，在一定的范圍內(nèi)，一個(gè)變量隨另一變量的變化都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。從而自己發(fā)現(xiàn)這一概念的形成過程，既培養(yǎng)了學(xué)生合情推理的能力，又使這一抽象的概念不再抽象。
（二）借助數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
數(shù)學(xué)中的命題主要是指數(shù)學(xué)的定理、公式、性質(zhì)和法則等。對(duì)于數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)大都是在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和新命題中的知識(shí)中，經(jīng)過分化、歸納和類比等思維形式，從而發(fā)現(xiàn)新的命題。數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)通常可采用意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和意義接受學(xué)習(xí)兩種方法。所謂意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，是指先呈現(xiàn)命題的若干事例，讓學(xué)生從例證中概括出一般結(jié)論，在這種教學(xué)方法的指導(dǎo)下，學(xué)生所進(jìn)行的是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，整個(gè)學(xué)習(xí)的過程能有效的培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。例如在學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”、“三角形中大邊對(duì)大角”等關(guān)于三角形的知識(shí)后，再來學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)定理，比如“等腰三角形兩底角相等”“勾股定理”等。又比如有理數(shù)加法法則、加減乘除法的各種運(yùn)算律、數(shù)軸和絕對(duì)值知識(shí)等等都是采用不完全歸納推理形式得出的。通過對(duì)這些數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)，學(xué)生在經(jīng)歷不完全歸納的推理過程中，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。
（三）借助問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力
問題解決是學(xué)生應(yīng)用以前獲得的知識(shí)投入到新的或不熟悉的情境中的一個(gè)過程。也就是說，問題解決是一個(gè)過程，是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程，探索的過程，創(chuàng)新的過程，借助它，一個(gè)人可以使用原先所掌握的知識(shí)、技巧，以及對(duì)問題的理解來適應(yīng)一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段。在進(jìn)行問題解決時(shí)，學(xué)生必須綜合他所學(xué)的東西，并把它用到新的、困難的狀況中去。將問題解決作為過程，能有助于檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)技能和概念所做的操作，它們彼此間的相互聯(lián)系及它們?cè)诮鉀Q各種問題中所起的作用，有助于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去設(shè)計(jì)，去創(chuàng)新，去完成。在問題解決中，相當(dāng)一部分是實(shí)際生活中的例子，為此，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)精選或設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，組織學(xué)生學(xué)習(xí)或討論，從而有效的培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
例如：有100位和尚，吃100個(gè)饅頭，大和尚每人吃3個(gè)，小和尚每3人吃一個(gè)。問大小和尚各幾人？首先指導(dǎo)學(xué)生作出一個(gè)猜測(cè)：小和尚有90個(gè)，則大和尚有10個(gè)，一共吃饅頭60個(gè)。猜測(cè)有誤，指導(dǎo)學(xué)生修正猜測(cè)。所作猜測(cè)饅頭數(shù)較少，故小和尚數(shù)過多，第二次猜測(cè)時(shí)小和尚人數(shù)應(yīng)適當(dāng)減少……經(jīng)過上述的猜測(cè)、檢驗(yàn)、修正等過程后問題得了解決。不難看出，即使學(xué)生不會(huì)列方程解應(yīng)用題，不會(huì)假設(shè)法來解決這個(gè)問題，通過合情推理，學(xué)生也能找到解決問題的線索。
（四）借助生活化的問題，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力
在數(shù)學(xué)的教育教學(xué)活動(dòng)以外有很多活動(dòng)也能有效地發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。人們?nèi)粘Ｉ钪性S多事情經(jīng)常需要作出判斷和推理，許多游戲中也隱含著推理的要求。所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生合情推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動(dòng)中有“數(shù)學(xué)”，有“合情推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測(cè)、分析、歸納推理的好習(xí)慣。例如：在勾股定理的教學(xué)中設(shè)計(jì)在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理活動(dòng)，在問題設(shè)置上鼓勵(lì)學(xué)生充分經(jīng)歷這一觀察、歸納、猜想的過程，嘗試求出三個(gè)正方形的面積，比較這三個(gè)正方形的面積，猜想得到三個(gè)正方形面積的關(guān)系。初步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊存在的關(guān)系，再通過上述過程歸納出猜想，在學(xué)生動(dòng)手做一做，試一試，想一想的過程中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。又如在學(xué)習(xí)“由邊長(zhǎng)判定直角三角形”時(shí)，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)：通過選擇特定長(zhǎng)度的繩子圍成三角形，然后計(jì)算長(zhǎng)度，度量角度，而后再取不同長(zhǎng)度的繩子圍成另一種特定邊長(zhǎng)的三角形，重復(fù)上面的步驟；這就是實(shí)驗(yàn)和問題有明顯的“勾股”背景。這個(gè)實(shí)驗(yàn)從數(shù)和形兩方面得到了直觀印象，從而形成了數(shù)學(xué)思維，從潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，都是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的素材，教學(xué)中要充分挖掘和利用。
（五）借助規(guī)律性問題，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力
中學(xué)數(shù)學(xué)中很多探究規(guī)律的題目及學(xué)習(xí)內(nèi)容都很好的培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。讓學(xué)生把問題特殊化，或者從特殊的例子出發(fā)，進(jìn)行觀察、思考、動(dòng)手計(jì)算、測(cè)量逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律的東西，最終將隱含在其中的結(jié)論發(fā)現(xiàn)出來，然后再進(jìn)行特殊化發(fā)現(xiàn)其特殊的規(guī)律。比如有一串單項(xiàng)式：-x、2x2、-3x3、4x4、……-19x19、20x20（1）你能說出它們的規(guī)律是什么嗎？（2）寫出第n個(gè)，第（n 1）個(gè)單項(xiàng)式。類似這種問題的解決都是通過觀察、分析、猜想再不斷驗(yàn)證，最后解決問題，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。再比如八年級(jí)數(shù)學(xué)“怎樣判定三角形全等”這節(jié)的教學(xué)中，三角形全等的判定方法都是利用以下方式得出：操作構(gòu)造問題情景——提出問題——解決問題——得出結(jié)論。這樣通過設(shè)置n個(gè)密切相關(guān)而又各具特色的問題，使得探究過程自然如一，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。
另外，運(yùn)用類比的思想也是發(fā)展學(xué)生合情推理的最好形式。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，類比的表現(xiàn)形式是多種多樣的。通?？煞譃楹?jiǎn)單的類比與復(fù)雜的類比兩類。簡(jiǎn)單的類比即形式的類比。如由“在除法算式中，除數(shù)不能為零”，類比推出“分?jǐn)?shù)的分母不能為零”和“比的后項(xiàng)不能為零”。復(fù)雜的類比即實(shí)質(zhì)的類比，這種類比能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，引導(dǎo)他們挖掘數(shù)量間隱藏著的內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)量間可能引起的變化規(guī)律。中學(xué)數(shù)學(xué)中許多結(jié)論和定理的給出都是類比。比如在學(xué)習(xí)合并同類的二次根式時(shí)類比整式中的合并同類項(xiàng)，學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算律時(shí)類比小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的運(yùn)算律，學(xué)習(xí)分式性質(zhì)與運(yùn)算時(shí)類比小學(xué)數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)，解法及應(yīng)用類比等式的性質(zhì)，一元一次方程的解法與應(yīng)用等等，這符合學(xué)生的思維品質(zhì)和認(rèn)知規(guī)律，有效地提高學(xué)生的合情推理能力。
總之，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，不僅有利于學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，而且有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。通過合情推理能力的培養(yǎng)，學(xué)生能真正體會(huì)思維樂趣，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。面對(duì)新課程的挑戰(zhàn)，我們要努力營(yíng)造和諧的氛圍，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的興趣，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)主動(dòng)參與的條件，讓學(xué)生真正地參與到知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程中，把合情推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)具體環(huán)節(jié)中，從而達(dá)到學(xué)生整體素質(zhì)的全面提高，為學(xué)生的終生發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。