在十幾年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我逐漸感受到，蘊含在豐富的數(shù)字和符號下面的基本規(guī)律和思想方法對于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及綜合素質(zhì)培養(yǎng)有重要意義。基于數(shù)學(xué)“形變質(zhì)通”特性進(jìn)行教學(xué)，可以讓學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)中的思想、方法和思維方式，進(jìn)而領(lǐng)悟其中所蘊含的哲理，在形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時，也能獲得人生的啟迪。
“形變質(zhì)通”是什么
“形變”是指形式、形態(tài)、樣式、模式、格式、外形等的變化，“質(zhì)通”是指本質(zhì)上的相互通達(dá)和普遍聯(lián)系，強調(diào)的是蘊含在不同顯性知識下的相同思維方法和不同階段知識中的相同知識結(jié)構(gòu)以及學(xué)生對同一數(shù)學(xué)知識個性化理解的相通之處。“形變質(zhì)通”就是指在表現(xiàn)形式上富于變化但在基本思想上卻相互通達(dá)并存在著的必然和普遍聯(lián)系。
“形變質(zhì)通”是數(shù)學(xué)的基本特性之一。雖然數(shù)學(xué)知識的表達(dá)形式隨著內(nèi)涵的不斷豐富和發(fā)展也日益多樣，但數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系、基本規(guī)律和所隱含的思想方法卻是相通的。比如：同一數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想在不同的分支領(lǐng)域可以有不同的表現(xiàn)形式，相同的數(shù)字符號下所蘊含的數(shù)學(xué)思想也可以有多種解讀方式，我把數(shù)學(xué)這種形式上具有豐富變化性但在本質(zhì)上具有高度相通性的基本特性稱為“形變質(zhì)通”。
“形變質(zhì)通”體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各個方面：從數(shù)學(xué)定律、性質(zhì)的歸納及應(yīng)用，到蘊含在各不同階段數(shù)學(xué)知識中的“公理”；從一道題的具體解法，到蘊含在不同題目中相同的解題思路；從數(shù)學(xué)知識的生長點到“數(shù)”與“形”的結(jié)合，等等。小學(xué)數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)課程，其中各種數(shù)與形的結(jié)合、類比、化歸、集合、消元等數(shù)學(xué)思想都是“形變質(zhì)通”的具體體現(xiàn)。只有孩子了解了多種形式的數(shù)學(xué)知識中的基本聯(lián)系和變化規(guī)律，并能在解決實際問題中運用這些思想和規(guī)律，才能說明他們們真正學(xué)會了數(shù)學(xué)。
“形變質(zhì)通”是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知策略。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中充分利用“形變質(zhì)通”策略，可以從不同年級段的數(shù)學(xué)知識的角度去思考同一道數(shù)學(xué)題目的解答方法，而不是將數(shù)學(xué)“禁錮”在某一年級段的數(shù)學(xué)知識中。尤其是在指導(dǎo)學(xué)困生的學(xué)習(xí)時，將他們難以理解的知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹白冃巍碧幚?，以他們能夠理解和接受的方式呈現(xiàn)出來，與他們的思維水平和已有的知識結(jié)構(gòu)相融，學(xué)生就可以實現(xiàn)在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)對已有知識的鞏固和對新知識的同化，從而促進(jìn)自己整體知識水平和認(rèn)知能力的提高。
“形變質(zhì)通”是一種辯證的思維方式。讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)“形變質(zhì)通”的特性,并利用形變質(zhì)通的思維方式和學(xué)習(xí)策略去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不但可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,增強他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,而且能夠切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。更為重要的是，學(xué)生可以把從數(shù)學(xué)中學(xué)到的思維方式和能力運用到生活中去，用一種變通的思想更好地認(rèn)識社會和人生。
利用“形變質(zhì)通”化繁難為簡
數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，所以在學(xué)數(shù)學(xué)時會遇到很多應(yīng)用題。有些應(yīng)用題從表述上看起來內(nèi)容和關(guān)系都很繁瑣復(fù)雜，但應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理卻是最基本最簡單的。所以我在數(shù)學(xué)教學(xué)中總是注意利用多種策略和方法，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的“本質(zhì)”出發(fā)，跳出繁復(fù)的形式，品味繁雜的關(guān)系中所隱含的基本數(shù)學(xué)原理，從而培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的意識和思維方式。
提供啟發(fā)性的關(guān)鍵問題。很多時候，學(xué)生之所以覺得某些問題比較難以理解和解決，是因為他們沒有發(fā)現(xiàn)這些問題中的關(guān)鍵點，這時就需要教師通過啟發(fā)性問題給學(xué)生提供“腳手架”，讓他們透過繁雜的關(guān)系找到問題的關(guān)鍵。比如，對于下面這個問題：“小明每分鐘走55米，小剛每分鐘走65米，小狗每分鐘跑300米。現(xiàn)小明和小狗在Ａ地，小剛在距Ａ地960米的Ｂ地，三者同時從所在地出發(fā)，兩人相向而行，小狗則在兩人之間不停地往返跑，直至兩人相遇。問相遇時小狗跑的路程?！睂W(xué)生們站在小狗跑的路線思考此題，就會陷入解決問題的僵局，因為小狗在往返跑的過程中，每次跑的距離都不相等，并且也不知道往返跑的次數(shù)。但我們跳出小狗跑的路線，從問題的本質(zhì)出發(fā)，問題的解決就變得簡單了。為此，我提出了啟發(fā)性問題：“兩人幾分鐘相遇？”學(xué)生們很快地求出了兩人的相遇時間。我接著提問：“小狗跑的時間是多少？”“8分鐘，我會了！”同學(xué)們恍然大悟。因為知道了時間，題中也有小狗跑的速度，求路程也就不難了。
數(shù)形互變。“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)的重要思想之一，同一數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)問題，既可從“數(shù)”中表達(dá)，也可從“形”中表達(dá)?！皵?shù)”是某些“形”的注解，“形”是某些“數(shù)”的可視性工具。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)與形之間存在的必然聯(lián)系進(jìn)行數(shù)形互變，從“數(shù)”、“形”不同的角度對同一數(shù)學(xué)知識以學(xué)生能夠理解的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和原理，就可以起到化繁難為簡易的作用。有時從“形”上呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)難題，當(dāng)我們在“數(shù)”上理解，我們就能化繁難為簡易，反之亦然。
把生疏的知識變?yōu)槭煜さ闹R
小學(xué)生的思維方式、知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知方式、身心發(fā)展水平都處于特定階段，他們所能接受的數(shù)學(xué)知識也需要以適合他們特點和知識水平的方式呈現(xiàn)，否則就會事倍功半，甚至勞而無功，更有甚者讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼。因而只有把生疏的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的知識，才能讓學(xué)生學(xué)起來更輕松有效。
借助學(xué)生已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要成為學(xué)生學(xué)習(xí)的助手，要抓住數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)知識與其他事物之間,尤其是與學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的相通之處，引導(dǎo)他們將不易直接理解和解決的數(shù)學(xué)知識和問題與其他已經(jīng)熟悉的知識建立起聯(lián)系。比如，在教《時、分、秒》一課時，我出了這樣一題：“笑笑看一場電影，電影開始時間是18∶55分，電影結(jié)束時間是21∶05分，請問這場電影放映的時間是多長？”這道題計算經(jīng)歷的時間，可以有多種方法。這對于擅長計算而不擅長靈活解決問題的學(xué)困生來說是困難的。于是我就引導(dǎo)他們利用已經(jīng)熟悉掌握的列豎式作減法的方式，用后面時間減去前面的時間，提醒學(xué)生此處因為是時間，需要借1（小時）相當(dāng)于60（分鐘）的道理，將新知納入他們已有的知識結(jié)構(gòu)中。
利用語言轉(zhuǎn)換。我在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，如果學(xué)生由于年齡或知識基礎(chǔ)的原因不能理解某些學(xué)術(shù)性的數(shù)學(xué)語言，我就換一種說法或表達(dá)形式，使其變成符合學(xué)生認(rèn)知水平的形式，然后再呈現(xiàn)出來，這樣，一方面讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)術(shù)語的表達(dá)方式，也能讓他們理解真實的意義。語言轉(zhuǎn)換可以有多重方式。首先，要善于把數(shù)學(xué)知識與生活中的事物相聯(lián)系，將數(shù)學(xué)語言與生活語言相互轉(zhuǎn)換。比如，我們可以把集合比作容器。其次，引領(lǐng)學(xué)生將數(shù)學(xué)應(yīng)用題的生活化語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系符號語言，培養(yǎng)學(xué)生抽象和概括思維的能力。再次，注重不同語言的相通表意訓(xùn)練，加強數(shù)學(xué)知識間的溝通。教師可運用多種語言將知識的多層含義表達(dá)出來，如“一式多意”、“一題多述”等，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的透徹理解，加強數(shù)學(xué)知識之間的溝通，使學(xué)生的知識融會貫通。
在綜合運用中提高能力
小學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)時，總是從一個個看似毫無關(guān)聯(lián)的知識點學(xué)起。孤立知識不但容易遺忘，而且容易混淆。為此，我在教學(xué)過程中經(jīng)常有意識地把學(xué)生學(xué)過的具體數(shù)學(xué)知識進(jìn)行多種角度的變通整合，使之建立聯(lián)系，形成以基本原理和思維方法為核心的知識網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)體系，擺脫就知識論知識、就題論題的現(xiàn)象，讓學(xué)生能夠舉一反三、觸類旁通，從而跳出“題?！保嵘C合運用數(shù)學(xué)的素養(yǎng)和能力。
一題多解和多題一解。一題多解是我在課堂教學(xué)中常采用的，引導(dǎo)學(xué)生“一題多解”可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)多角度考慮問題，認(rèn)識不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生提供開放的思維空間，培養(yǎng)他們發(fā)散思維的意識和能力。此外，我還關(guān)注由一道題引發(fā)的多種解法之間的某些必然聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生品味藏匿于不同解法中的相同的解題思路。多題一解就是用相同的思路解答看似不同的題，認(rèn)識不同表達(dá)形式下相同的問題本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括歸納和綜合分析的能力。
跨階段整合。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)出發(fā)，在教學(xué)設(shè)計過程中抓住新舊知識的連接點，通過適宜的設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生將相近、相似的知識進(jìn)行整合，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性。此外，用相同的公理和原理整合不同階段、不同形式的知識對于學(xué)生理解知識間的內(nèi)在聯(lián)系也至關(guān)重要，比如，從小學(xué)的數(shù)字算術(shù)類推到初中的多項式算術(shù)，計數(shù)單位相同的數(shù)或式才能相加減是計算這些加減運算的公理。這樣的整合重組可以將超越學(xué)生知識水平和年齡階段的繁難知識形式轉(zhuǎn)化為本質(zhì)不變的簡易形式，有助于學(xué)生把不同階段知識聯(lián)系在一起。當(dāng)教師從最本質(zhì)的數(shù)組成角度對一些加法算式進(jìn)行變形，很多對學(xué)生而言看似很難的問題就會迎刃而解。
