數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的核心成分在于其學(xué)科專業(yè)發(fā)展水平。數(shù)學(xué)教師學(xué)科專業(yè)知識發(fā)展水平可以分為直觀水平、概念水平和理論水平。其中，直觀水平是以事實、關(guān)系、方法為主體和以個案為事例的;概念水平是以知識、思維、能力為主體的，而其內(nèi)容更具有一般意義，但卻有比較明顯的實際背景;理論水平是以抽象、符號化為其核心的，其典型特征在于沒有實際背景。數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識專業(yè)發(fā)展的基本環(huán)節(jié)是“建立直觀一進入概念一形成理論”。
1.直觀水平
史寧中教授指出，“建立直觀是非常必要的，就教育而言，直觀是一種判斷能力，是憑借專業(yè)直覺對事物作出直接判斷的能力，包括從條件預(yù)測結(jié)果的能力，也包括由結(jié)果探究成因的能力。教師直觀能力的形成與發(fā)展，依賴于個體的問題意識、洞察與反思的能力、經(jīng)驗積累與專業(yè)知識。胡炯濤認為:“數(shù)學(xué)直覺思維就是人腦對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。此文所說的數(shù)學(xué)直觀水平，是指把體驗與經(jīng)驗因素同數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)直接聯(lián)系的個體認知水平，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維形式的整體性和綜合性、思維過程的簡約性和直接性。直觀水平體現(xiàn)的載體是“個案”，而數(shù)學(xué)問題的“事實、關(guān)系與方法”研究基于“個案”，因此，可由以下三個層面闡述教師直觀水平。
（1）事實層面：核心是“問題的來源”
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，普遍存在“問題”的發(fā)現(xiàn)、歸納直至提出都由教師來完成的現(xiàn)象。學(xué)生對問題是如何提出來的、提問和提出問題的關(guān)聯(lián)等問題的關(guān)注與探究不深入，理解得不完整。
思維的問題性表現(xiàn)為人們在認識活動中經(jīng)常意識到一些難以解決的、疑惑的實際問題或理論問題，并產(chǎn)生一種懷疑、困惑、焦慮、探究的心理狀態(tài)，這種心理又驅(qū)使個體積極思維，不斷提出問題和解決問題。思維的這種問題性心理品質(zhì)，被稱為問題意識。
問題意識對于人的認知發(fā)展具有重要的促進作用。某種意義上，問題就是答案。為了便于理解和把握，依據(jù)所涉問題意識對于人的認知發(fā)展具有重要的促進作用。某種意義上，問題就是答案。為了便于理解和把握，依據(jù)所涉及的內(nèi)容，可把問題意識分為以下三種:“源”問題意識，是指起源與本質(zhì)的探究意識；“流”問題意識，是指過程與變化的探究意識；“果”問題意識，是指結(jié)果與頂測的探究意識。也就是說，理論探究和實踐操作過程中要從源、流、果三個維度思考問題意識的培養(yǎng)。
(2)關(guān)系層面:核心是“條件的收集”
在現(xiàn)實生活中，人們遇到或提出很多問題，而這個問題不管是怎樣一個事實，要想解決必須有一定的條件，也就是說，找到解決問題的相應(yīng)條件是關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要解決的問題的條件通常是己知的、足夠的，但在現(xiàn)實生活活中卻井非如此。圍繞要解決的問題“收集條件”是一種以問題為主線的探究過程，是解決問題的切入點和突破口，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。教師要能依據(jù)己有經(jīng)驗、知識，了解解決問題所需的現(xiàn)有技術(shù)與方法，關(guān)注事物間橫向與縱向關(guān)聯(lián)，區(qū)分出問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，提出正確的問題或假設(shè)。也就是說，通常在己有知識技能的基礎(chǔ)上，通過理論假設(shè)與分析、調(diào)查與實驗獲取解決問題的條件。
(3)方法層面：核心是“方法的選擇”
方法的選擇要考慮用什么樣的方法最有效、最容易被接受，方法或途徑的選擇依據(jù)是什么。首先要澄清數(shù)學(xué)方法的含義。數(shù)學(xué)力一法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，又是解決問題的手段、途徑中所包含的可操作的規(guī)劃或模式。其次是對方法的整性體把握，無論從宏觀還是微觀上來看，有著多種多樣的數(shù)學(xué)方法，教師要有完整性的數(shù)學(xué)方法的知識并且能夠從整性體上把握這些方法，這樣選擇才更靈活。因而，欲考察教師對數(shù)學(xué)方法掌握的情況，要看教師能否解釋某一個方法的含義，同時要看教師是否備有與每一個方法所對應(yīng)的典型案例。
2.概念水平
概念是數(shù)學(xué)知識的細胞，是思維的基礎(chǔ)。對數(shù)學(xué)教師而言，由于職前職后通過學(xué)習(xí)和實踐所獲得的知識、技能與經(jīng)驗不同，對某一概念會有不同程度的認識和理解。對數(shù)學(xué)某一概念的認知水平的發(fā)展與進一步掌握，往往建立在它的前概念基礎(chǔ)之上。為此，教師要探究生成概念與理解概念的過程，提升概念認知水平，概念的理解依賴具體背景。下面從知識、思維、能力三個層面闡述教師概念水平的發(fā)展。
（1）知識層面:核心是“概念的理解”
教師概念水平的知識層面是指數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念、原理、公理與公設(shè)、思想方法與技能以及這些知識在教師頭腦中的數(shù)量和結(jié)構(gòu)。即，圍繞概念形成知識結(jié)構(gòu)的過程:概念來源一形成過程一表征方法一理解維度一同化一數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)一概念圖一應(yīng)用思維一概念理論模型。概念內(nèi)涵與外延、形成過程、關(guān)系的理解程度是促進教師邏輯思維發(fā)展的關(guān)鍵。教師知識水平的發(fā)展是從具體到抽象和從抽象到具體的螺旋式升級的過程，是加深理解層次和重塑概念結(jié)構(gòu)的過程。即，關(guān)于概念的理解是從線性結(jié)構(gòu)到樹形結(jié)構(gòu)再到網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的認知發(fā)展過程。其中，線性結(jié)構(gòu)是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的一對一結(jié)構(gòu)樹形結(jié)構(gòu)是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的一對多結(jié)構(gòu)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)是指頭腦中的關(guān)于概念與概念、概念與故事的多對多結(jié)構(gòu)。
(2)思維層面:核心是“思路的啟迪”
數(shù)學(xué)教師思維差異體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中，而思維水平體現(xiàn)在對事實的觀察、比較、分析、綜合、抽象等心智活動的廣度、深度、難度和嚴謹性上“解決問題”是數(shù)學(xué)思維的核心，解決問題過程能夠達到以簡馭繁善于轉(zhuǎn)化之效果是數(shù)學(xué)思維的深刻性、敏捷性、靈活性之外在表現(xiàn)，這此思維品質(zhì)的形成與發(fā)展根植于聯(lián)想思維、發(fā)散思維、批判思維，從而培養(yǎng)教師于無形中覓見有形與于有形中發(fā)現(xiàn)無形的洞察能力。教師只有具備良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，才能增強應(yīng)變能力、豐富想象能力，返璞歸真，不斷提高學(xué)科知識水平，解放學(xué)生思維，完善教與學(xué)的過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。
(3)能力層面:核心是“技能的形成”
現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論普遍認為，數(shù)學(xué)能力是一種與數(shù)學(xué)活動有關(guān)的特殊的能力，是順利完成數(shù)學(xué)活動所具備的并且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，它是在數(shù)學(xué)活動過程中形成和發(fā)展起來的，并在這類活動中表現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。史寧中教授高度概括了數(shù)學(xué)基本能力結(jié)構(gòu)——“四能，即發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力”。
3.理論水平
數(shù)學(xué)教育教學(xué)實踐是以數(shù)學(xué)活動為主要載體，以數(shù)學(xué)核心概念為主線，澄清直觀與邏輯、分析與構(gòu)造、具體與抽象、個別與一般的關(guān)系，系統(tǒng)整理自身所 掌握的數(shù)學(xué)思想方法與觀念、知識與活動經(jīng)驗(包括知識的來龍去脈，形成概念的背景、意義，獲取知識的能力和方法等等)，進而上升為理論水平的。因而，我們認為，數(shù)學(xué)學(xué)科知識發(fā)展的基本環(huán)節(jié)為:建立直觀一進入概念一形成理論。
首先，個案出發(fā)，認清與個案相關(guān)的事實、關(guān)系和解決方法，提出問題，收集解決問題所需條件，設(shè)計解決問題方案且選擇方法，從而建立直觀；其次，從解決多個個案過程中積累經(jīng)驗，利用概念、圖形、符號和關(guān)系等描述一類問題，形成認知結(jié)構(gòu)和思維模式，進而培養(yǎng)解決具有現(xiàn)實背景的一般性問題的數(shù)學(xué)能力；最后，通過理論假設(shè)和推理，歸納規(guī)則與法則，構(gòu)建思維模式與問題模型，并且能夠在無背景的一般意義上解釋事物關(guān)系的系統(tǒng)，即形成理論。
總之，有效的數(shù)學(xué)教與學(xué)過程，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)發(fā)展史在人們頭腦中的縮影，也是不同層次的再探索和再創(chuàng)造的修正過程。由于數(shù)學(xué)教師學(xué)利專業(yè)知識發(fā)展具有水平差異，因而，提升數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展水平必須關(guān)注三個發(fā)展水平的差異，需要針對不同的發(fā)展水平，采取相應(yīng)的策略。
